ABSTRACT By using the notion of Carathéodory solution to differential equations, the present work studies the boundedness of solutions of discontinuous differential equations. For these discontinuous systems determined by discontinuous differential equations, results are obtained that guarantee sufficient conditions to boundedness of solutions in terms of nonsmooth Lyapunov functions.

RESUMO Este artigo considera uma classe de problemas de controle ótimo em escalas temporais descritos por equações dinâmicas em escalas temporais. Para essa classe, os estados são absolutamente contínuos. Nós estabelecemos condições suficientes para a existência de controles ótimos.

ABSTRACT This paper considers a class of optimal control problems on time scales described by dynamic equations on time scales. For this class, the states are absolutely continuous. We have established sufficient conditions for the existence of optimal controls.

Neste trabalho consideramos o problema de inclusão diferencial em escalas temporais cujo campo vetorial é uma multifunção, ou seja, uma função que mapea pontos a conjuntos. O trabalho fornece condições de existência sem exigir compacidade do campo vetorial; exige apenas que ele seja convexo, fechado e semicontínuo inferior. Em trabalhos anteriores na literatura, ou o campo é escalar ou exige-se que este, além de convexo, seja compacto e tenha o gráfico fechado.

In this paper we consider the problem of differential inclusion in time scales whose vector field is a multifunction, that is, a function that maps points to sets. It is provided conditions of existence without requiring compactness of the vector field; it is required that the vector field is closed, convex, and lower semicontinuous. In previous work in literature, it is required that the field is either scalar or compact, convex, and has closed graph.